Systemtheorie, Impulsantwort, Fourier

Einstieg in das Thema
Um ein ‚Time Alignment‘ vornehmen zu können oder das Lautsprechersystem möglichst linear klingen zu lassen, ist es sinnvoll die Impuls-/Frequenzantwort des Systems zu kennen. Durch diese ist ein genaues Ermitteln der System Laufzeit möglich und dementsprechend auch ein Abstimmen auf andere Laufzeiten. Die Idee der Impuls-/Frequenzantwort basiert auf der sogenannten Systemtheorie.

Was ist ein System?
Mit der Idee des Systems lassen sich viele technische Anwendungen beschreiben. Der Professor, der mich zum ersten mal in den Kontakt zur Systemtheorie brachte, beschrieb das System als eine Art „Blackbox“. Irgendetwas das einen/mehrere Ein- und Ausgänge hat und in dem innerhalb etwas mit dem Eingang gemacht wird, um den Ausgang zu bilden. In der Systemtheorie wird gerne mit Blockschaltbildern gearbeitet. Ein einfaches System sieht dann wie folgt aus:


Ein Eingangssignal u(t), welches auch vektorwertig sein kann \vec{u}(t), wird in die „Blackbox“ geführt. Diese hat eine Impulsantwort g(t) mit der das Eingangssignal „verrechnet“ wird. Das Ergebnis dieses „verrechnet“ werdens ist das Ausgangssignal y(t). Da wir uns im Zeitbereich befinden – Signale haben, die von t also der Zeit abhängen – kann dieses „verrechnet werden“ mathematisch als Faltung beschrieben werden. Man schreibt auch:

    \[\\\begin{center}y(t) = u(t)*g(t)\notag\end {center} \\\]


Das Faltungssymbol " * " sollte nicht mit dem der Multiplikation " \cdot " verwechselt werden, auch wenn dieses am Computer häufig für eine Multiplikation verwendet wird.

Definition der Faltung
y(t) = \int\limits_{-\infty}^{t} u(\tau) \cdot g(t-\tau) \ d\tau

Fourier Transformation
Der ein oder andere hat schon einmal etwas von der Fourier Transformation gehört. Gerade im Bereich der Audiotechnik, ist dieses Verfahren ein sehr nützliches Werkzeug um herauszufinden, welche Frequenzen in einem Signal stecken. Wen das Thema genauer interessiert, dem kann ich nur das Video des Youtubers „3blue1brown“ zur Fouriertransformation empfehlen:

Man kann auch das oben dargestellte System in den Fourier Bereich transformieren.

An Stelle des zeitlichen Signals u(t) erhält man nun das fouriertransformierte Signal U(j\omega). Dies gilt ebenfalls für die beiden anderen zeitlich abhängigen Signale. Die Impulsantwort wird, wenn man sie fouriertransformiert, zum Frequenzgang. Hat man nun die jeweiligen fouriertransformierten Signale vorliegen, so lässt sich die „komplizierte“ Formel der Faltung auf eine einfache Multiplikation zurückführen:

    \[\\\begin{center}Y(j\omega) = U(j\omega) \cdot G(j\omega)\notag\end{center}\\\]

Impulsantwort
Wendet man nun dieses Wissen an, so kommt man schnell darauf, dass die Impulsantwort (im Fourierbereich) eines Systems, auch Frequenzgang genannt, einfach beschrieben werden kann, als Verhältnis von fouriertransformiertem Ausgang, zu fouriertransformiertem Eingang.

    \[\begin{center}G(j\omega) = \frac{Y(j\omega)}{U(j\omega)}\notag\end{center}\]


In der Praxis ist diese Methode leider nicht so einfach anzuwenden, da die Signale meist verrauscht sind. Um dennoch eine möglichst genaue Impulsantwort zu erhalten, kann man z.B. die „Wiener Deconvolution“ oder „Kreuzkorrelation“ anwenden.