Kreuzkorrelation, Zeitmessung


Was ist eine Kreuzkorrelation?
Als Kreuzkorrelation wird die Korrelation zweier Signale bezeichnet. Dabei ist eines der Signale um eine Zeitkonstante \tau verschoben. Die Korrelation wird als Kreuzkorrelation bezeichnet, solange das zweite Signal nicht gleich dem ersten Signal ist, wobei die Zeitverschiebung \tau dabei keine Rolle spielt.

Wie berechnet sich die Kreuzkorrelation?
Eine Kreuzkorrelation lässt sich in der Theorie mit dem Lösen des folgenden Integrals berechnen:

y(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \overline{x_1(t)} \cdot x_2(t+\tau) \ dt

wobei \overline{x_1(t)} das komplex Konjugierte der Funktion x_1(t) darstellt. Zum Glück lässt sich die Kreuzkorrelation in den Fourier Bereich transformieren. Eine Schnelle Fourier Transformation (FFT) findet häufig Anwendung, weshalb sehr gute, schnelle Algorithmen zu deren Berechnung existieren.
Die Kreuzkorrelation im Fourier Bereich berechnet sich wie folgt:

y(t) = F^{-1}\{X_1(j\omega) \cdot \overline{X_2(j\omega)} \}

wobei X(j\omega) die Fourier Transformierte der Funktion x(t) darstellt.

Wie kann eine Kreuzkorrelation aussehen?

Beispiel einer Kreuzkorrelation, während der Entwicklung von Sonic Tools